colage de los temas

  

Por David Abraham Díz Rivera y Rodriguez Perez Yazbeth Gerardo

Prismas

Un prisma, en geometría, es un poliedro que consta de dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y de caras laterales que son paralelogramos.
En el caso en que las caras laterales sean rectangulares, se llama prisma rectogularino. El prisma rectangular o cuboide, y el prisma octagonal se encuentran entre los tipos de prisma recto, con una base rectangular y octagonal, respectivamente.

Prismas irregulares
sus bases son polígonos irregulares.

Prisma recto

Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos o cuadrados. 

La altura de un prisma recto coincide con su arista lateral.

Prisma oblicuo

Un prisma oblicuo es un prisma cuyas aristas laterales son inclinadas atraves o desviadode la horizontal a las bases
 
Paralelepípedo
es un poliedro de seis caras (por tanto, un hexaedro), en el que todas las caras son paralelogramos, y paralelas e iguales dos a dos.
Un paralelepípedo tiene 12 aristas, que son iguales y paralelas en grupos de cuatro; y 8 vértices.

 

Cuerpos redondos y de revolución

 Sólido de revolución

Cuerpo redondo limitado por una generatriz (g) curva, que rota alrededor de un eje (e). Entre ellos se pueden mencionar:

• sólidos limitdos por superficies cuadricas:
  • esfera: la generatriz es una circunferencia,
  • elipsoide: la generatriz es una elipse,
  • paraboloide: la generatriz es una parábola,
  • hiperboloide: la generatriz es una hipérbola,
• toro (anillo). Su superficie la genera una circunferencia ó una elipse, que gira alrededor de un eje (e), coplanar con ella, y situado fuera de ella.

 

Cilindro

Cuerpo redondo limitado por una superficie cilíndrica y dos bases planas paralelas. La recta que pasa por los centros geométricos de las bases se denomina eje del cilindro (e), y es paralela a la generatriz (g) de la superficie cilíndrica. Los cilindros pueden ser:

• cilindro recto: si el eje (e), es perpendicular a las bases,
• cilindro oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a las bases,
• cilindro de revolución: si está limitado por una superficie cilíndrica de revolución. Pueden a su vez ser:
  
  
  • cilindro de revolución recto: si el eje (e), es perpendicular a las bases,
  • cilindro de revolución oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a las bases.
   
• Cono
  Cuerpo redondo limitado por una superficie cónica y por una base plana. La recta que pasa por el vértice (V), de la superficie cónica y el centro geométrico de la base se denomina eje del cono (e). Los conos pueden ser:
• cono recto: si el eje (e), es perpendicular a la base,
• cono oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a la base,
• cono de revolución: si está limitado por una superficie cónica de revolución. Pueden a su vez ser:
  • cono de revolución recto: si el eje (e), es perpendicular a la base,
  • cono de revolución oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a la base.

Pirámides

Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono cualquiera; y por caras, que son triángulos coincidentes en un punto denominado ápice.
El ápice o cúspide también es llamado vértice de la pirámide, aunque una pirámide tiene más vértices, tantos como el número de polígonos que lo limitan.

Tipos de pirámides

Una pirámide recta es un tipo de pirámide cuyas caras laterales son triángulos isósceles. En este tipo de pirámides la recta perpendicular a la base que pasa por el ápice corta a la base por su circuncentro.
-Una pirámide oblicua es aquella en la que no todas sus caras laterales son triángulos isósceles.
-Una pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígono regular.

-Una pirámide convexa tiene como base un polígono convexo y una pirámide cóncava tiene como base un polígono cóncavo.
Existen tres tipos de pirámides cuyas caras son triángulos equiláteros, con bases de 3, 4 y 5 lados respectivamente. Un tetraedro es una pirámide cuyas caras (base y caras laterales) son triángulos equiláteros.

Sólidos Platónicos

Los sólidos platónicos son el tetraedro, el cubo (o hexaedro regular), el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. También se conocen como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos. Se caracterizan por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras. Reciben estos nombres en honor al filósofo griego Platón (ca. 427 adC/428 adC – 347 adC), a quien se atribuye haberlos estudiado en primera instancia.

Propiedades

Regularidad

Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros:

• Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
• En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de aristas.
• Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
• Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.
• Todos sus vertices son convexos a los del icosaedro.

Simetría

Los sólidos platónicos son fuertemente simétricos:

• Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas.
• Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.
• Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.

Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:

• Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro.
• Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.
• Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro.

Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetría del poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por arcos iguales de círculo máximo, que constituyen polígonos esféricos regulares.

Los poliedros cuyas caras son polígonos regulares iguales se llaman poliedros regulares. Los poliedros regulares son cinco:

Hexaedro (6 cuadrados):

Un cubo o hexaedro regular es un poliedro de seis caras cuadradas congruentes, siendo uno de los llamados sólidos platónicos.
Un cubo, además de ser un hexaedro, puede ser clasificado también como paralelepípedo, recto y rectángulo, pues todas sus caras son de cuatro lados y paralelas dos a dos, e incluso como un prisma de base cuadrangular y altura equivalente al lado de la base.

Tetraedro (4 triángulos equiláteros) :

Un tetraedro es un poliedro de cuatro caras. Con este número de caras ha de ser forzosamente un poliedro convexo, y sus caras triangulares, encontrándose tres de ellas en cada vértice. Si las cuatro caras del tetraedro son triángulos equiláteros, forzosamente iguales entre sí, el tetraedro se denomina regular. El tetraedro es el símplex tridimensional.

Dodecaedro (12 pentágonos regulares)
 
Un dodecaedro es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, forzosamente iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

Icosaedro (20 triángulos equiláteros)

Un icosaedro es un poliedro de veinte caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de diecinueve lados o menos. Si las veinte caras del icosaedro son triángulos equiláteros, forzosamente iguales entre sí, el icosaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos. El poliedro conjugado del icosaedro es el dodecaedro.

Octaedro (8 triángulos equiláteros)

Un octaedro es un poliedro de ocho caras. Con este número de caras puede ser un poliedro convexo o un poliedro cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de siete lados o menos. Si las ocho caras del octaedro son triángulos equiláteros, forzosamente iguales entre sí, el octaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.